10 påstande

​Jeg har en liste med nummererede påstande.

  1. Påstand: Påstand 2 er falsk.
  2. Påstand: Påstand 3 er falsk.
  3. Påstand: Påstand 4 er falsk.
  4. Påstand: Påstand 5 er falsk.
  5. Påstand: Påstand 6 er falsk.
  6. Påstand: Påstand 7 er falsk.
  7. Påstand: Påstand 8 er falsk.
  8. Påstand: Påstand 9 er falsk.
  9. Påstand: Påstand 10 er falsk.
10. Påstand: Påstand 1 er falsk.

Hvor mange påstande er falske?

Hvor mange påstande er sande?

​
©  Karsten Enggaard

20 talkort i 6 bunker

​Peter har et sæt med 20 talkort, der er nummereret 1 – 20.
Han deler talkortene i seks bunker.
For hver af bunkerne gælder det, at summen af talkortenes tal er den samme.

© Lise Vikkelsø 

23. januar!

Et bestemt år har januar måned netop fire mandage og fire fredage.

Hvilken ugedag er den 23. januar det år?

​
© Karsten Enggaard 

4 cirkler i 1

​4 cirkler med radius 1 tangerer hinanden, og alle 4 cirkler tangerer en omskreven cirkel.

Hvad er radius på den omskrevne cirkel?

©  Karsten Enggaard

8 skjulte kvadrater

​I koordinatsystemet til højre er afsat 28 talpar, som angiver vinkelspidserne i 8 kvadrater af forskellig størrelse.
Fire af disse talpar er røde ringe. De angiver, at netop her vil to kvadrater have en vinkelspids sammenfaldende.
Ingen sider er fælles, kun fire vinkelspidser.

Tegn de 8 kvadrater i koordinatsystemet.

Hent koordinatsystemet her.

© Lise Vikkelsø

Alder på far og søn

​En far og en søn har fødselsdag på samme dato, og farens alder er  gange sønnens alder.
​Fars og søns aldre kan skrives med de samme to cifre.

Hvor gamle kan de to være?

© PxHere CC0 

Arealet af fire cirkler

​Et kvadrat har siden 2.
Bestem det samlede areal af de fire skraverede cirkler.

© Tidsskriftet Matematik 

Arven

​Farid er på vej gennem ørkenen på sin dromedar, da han møder tre brødre. De tre brødre skændes om, hvordan de skal dele deres arv.
De tre brødre har arvet 35 dromedarer efter sheiken, deres far; men kan ikke finde ud af at dele dem mellem sig.

I følge testamentet skal den ældste søn, Abdul-Aleem, arve halvdelen af domedarerne, og den mellemste søn, Abdul-Baari, skal arve en tredjedel af dyrene. Endelig skal den yngste søn, Abdul-Haadi, arve en niendedel af dromedarerne.

Men 35 kan ikke deles med hverken 2, 3 eller 9. Heldigvis er Farid kvik og tilbyder straks brødrene, at de kan låne hans dromedar, mens de deler, så der i alt nu er 36 dromedarer.
Det giver 18 til den ældste, 12 til den mellemste og 4 til den yngste søn.
18 + 12 + 4 = 34, så Farid får sin egen dromedar tilbage og en ekstra for sin ulejlighed.

Halvdelen af 34 er 17, og Abdul-Aleem er godt tilfreds med at have fået mere end halvdelen.
En tredjedel af 34 er 11, så Abdul-Baari er godt tilfreds med at have fået mere end en tredjedel.
Endelig er en niendedel af 34 lig med lidt mindre end 4, så Abdul-Haadi er også godt tilfreds med at have fået mere end sin niendedel.

Men hvad er der galt med den deling?

© CC0 

Arven efter vinhandleren

​En vinhandler dør og efterlader sine tre sønner 7 tønder fyldt med vin, 7 tønder halvt fyldt med vin og 7 tomme tønder.
I testamentet står, at hver søn skal arve nøjagtigt lige mange fyldte, halvfyldte og tomme tønder.

Hvordan kan sønnerne fordele vinen i tønderne, så de hver får lige mange fyldte, halvfyldte og tomme tønder.

Der er flere løsninger. Prøv at finde dem alle!

© Pixabay CC0

At nå 100

Du skal vælge fire forskellige cifre blandt cifrene fra 1 – 9.

Disse fire cifre skal du bruge til at danne fire forskellige 2-cifrede tal.
Opstil disse fire cifre i et 2x2-kvadratnet, så summen af de to rækker og de to søjler er 100.

I eksemplet i boksen til højre kan du danne følgende 2-cifrede tal:

1. række giver 67
2. række giver 89
1. søjle giver 68
2. søjle giver 79.

Summen af disse fire tal:
67 + 89 + 68 + 79 = 303.
Eksemplet opfylder ikke betingelsen, at summen er 100.

Find fire 2-cifrede tal, hvis sum er 100.

© Lise Vikkelsø

Bedstemors alder

​Mor og hendes fire børn bor sammen med børnenes mormor.

En dag spørger Peter, som er det næstældste barn sin mormor: ”Mormor, hvor gammel er du?”.

Bedstemoren er pensioneret matematiklærer og svarer:
”Min bedstemor ville have sagt ’Jeg er så gammel som min tunge og lidt ældre end mine tænder!’; men jeg vil fortælle dig, hvordan du kan regne min alder ud.”
”Hvis du muliplicerer din mors alder med din alder og med dine tre søskendes aldre vil de få resultatet 111 111.
Hvis du derefter adderer din mors alder med aldrene af alle jer fire søskende, er summen lig med min alder.”

Peter fandt hurtigt ud af sin mormors alder, for han kendte sin mors alder, sin egen alder og sine søskendes aldre.

Men kan du finde ud af, hvor gammel Peters bedstemor er?

© CC0 

Belønningen

​For mange år siden reddede en dreng kongen fra druknedøden.

Kongen ville gerne give ham en belønning, og gav ham følgende tilbud, han kunne vælge imellem:

Et tilbud, hvor han får en daler mere for hver dag.

A. 1 daler den første dag, 2 den anden dag, 3 den tredje dag, 4 den fjerde dag osv. i 30 dage.
Efter 30 dage kan drengen få det beløb, der svarer til summen af beløbene fra de tredive dage. 

Eller et tilbud, hvor pengene fordobles hver dag. Til gengæld begynder han med kun 2 skilling den første dag.

B. 2 skilling den første dag, 4 den anden dag, 8 den tredje dag, 16 den fjerde dag osv. i 30 dage.
Efter 30 dage kan drengen få det beløb, som fordoblingerne er blevet til netop den tredivte dag.

1 daler er 12 skilling.

Hvilket tilbud skal drengen vælge?

©  PXHERE

Bestem sidernes længder

​En retvinklet trekant har omkredsen 60.
Højden på hypotenusen har længden 12.

​Bestem sidernes længder.

© Karsten Enggaard

Bogfinansiering

​Birgit vil meget gerne have en bestemt bog; men hun har ingen penge.
Hendes far og hendes to brødre, Poul og Simon, tilbyder at betale, hvad bogen koster.

Hendes far giver halvdelen af, hvad de to brødre betaler. Den ene bror, Poul, betaler en tredjedel af, hvad Birgits far og den anden bror betaler tilsammen. 
​Den anden bror, Simon, giver 10 €.

Hvad koster bogen?

​

© Lise Vikkelsø 

Brædder i sløjd

​I et stativ i sløjd står der to lange brædder.

Stativet er 10 dm bredt og brædderne står helt ud mod siden af bunden i den ene side og op ad den modsatte side.
Det ene bræt når 30 dm op ad den ene side, og det andet når 20 dm op ad den anden side.

Hvor højt oppe krydser de to brædder hinanden?

​
                                                          ©  Karsten Enggaard

Busser i rute

​En personbil kører på en tosporet vej med en konstant fart.
Hvert 3. minut møder personbilen en bus, der kører i modsat retning.
Og hvert 6. minut overhaler personbilen en bus, der kører i samme retning.

Busserne kører fra endestationen med faste tidsintervaller, og de kører med konstant hastighed ad den tosporede vej fra endestationen og tilbage til endestationen.

Hvilket tidsinterval er der mellem busserne, når de forlader endestationen?

©  CC0 

Busstoppestedet

​To kollegier ligger på samme lige vej 250 m fra hinanden.

På det første kollegie bor der 100 studerende og på det andet 150 studerende.
En ny busrute skal køre på vejen forbi de to kollegier, og i den forbindelse skal der være et stoppested langs vejen i nærheden af de to kollegier.
Stoppestedet skal placeres, så hvis samtlige af de studerende går til stoppestedet, så skal den samlede strækning, de skal gå, blive så kort som muligt.

Hvor skal stoppestedet ligge?

©  Lise Vikkelsø

Chokoladespisning

​En æske chokolade fra Xocolatl indeholder 31 lækre stykker chokolade.
Den første dag spiser Gabriela  af det antal, som Peter spiste. Den næste dag spiser Gabriela  af det antal, Peter spiste den dag. Nu var al chokoladen spist.

Hvor mange stykker chokolade har Gabriela spist?

© CC0 

Cirkelareal uden 

​Figuren viser et tværsnit af en tunnel.

Tværsnittet er konstrueret af 4 ens kvartcirkler og en vandret bund.

r = radius i cirklerne.

Udtryk tværsnitsarealet af tunnelen ved r.

​
©  Karsten Enggaard

Cirkelområder 1

E​n stor cirkel deles af fire mindre cirkler, med halv så stor radius, som vist på tegning 1.

Udfordringen er at beregne forskellige områder i cirklen.

1. Hvor stort er arealet af den røde cirkel i forhold til den store cirkels areal?

2. Hvor stort er det blå område i forhold til den grønne 'firkløver'?

© Kirsten Haastrup

©  Kirsten Haastrup

Cirkelområder 2

​En stor cirkel deles af fire mindre cirkler, med halv så stor radius, som vist på tegning 1.

Udfordringen er at beregne forskellige områder i cirklen.

1. 
Hvor stort er det blå område i forhold til den grønne ’firkløver’?
Og hvor stort er arealerne?

2. 
Hvor stort er arealet af det pink område?

© Kirsten Haastrup

Tegning 1

©  Kirsten Haastrup

Cirkler i cirkler

Billedet til højre viser en stor cirkel med fire lige store cirkler indeni.

Find forholdet mellem det samlede areal af det gule område og det samlede areal af det blå område.

©  Karsten Enggaard

Cirklerier I

​Hvor stor en del af den store cirkels areal udgør summen af de små cirklers areal?

©  Karsten Enggaard

Cirklerier II

​Du har fem cirkler med radier på henholdsvis 5 dm, 4 dm, 2 dm, 2 dm og 1 dm.

Vis, hvordan du kan lade dem overlappe hinanden således, at det blå areal, der bliver tilbage af den største cirkel, er lige så stort, som det grønne areal af de fire andre.

​Når du har løst udfordringen, kan du måske finde andre cirkler, hvor det samme gør sig gældende!

​
© Karsten Enggaard 

Hvem er hvem?

​De fire musketerer på række og geled, lige efter de har svoret:

'En for alle og alle for en!

Men hvem er hvem?

Forfatteren Alexandre Dumas har følgende oplysninger om de fire helte:

Aramis har Porthos lige til venstre for sig.
Athos har d'Artagnan lige til højre for sig.
Porthos står ikke ved siden af d'Artagnan.

Find ud af, hvilken rækkefølge de fire står i!

© CC0

De lukkede døres princip

Du står i et stort rum med 100 døre, der er nummereret fra 1 til 100.

Alle døre er lukkede; men de kan påvirkes af din stemme. Lukkede døre åbnes og åbne døre lukkes, hvis dørens nummer er med i den tabel, der kan dannes af det tal, du siger.

Hvis du siger 17, åbnes nummer 17, 34, 51, 68 og 85.
Altså dørene med numre i 17-tabellen.

Hvis du dernæst siger 34, lukker nummer 34 og 68. Døre med numre i 34-tabellen aktiveres. Da de alle er åbne, bliver de alle lukket.

Hvis du siger 5, åbnes nummer 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80; mens 85 lukkes. Resten i 5-tabellen åbnes, dvs. 90, 95 og 100.

Dette var reglerne. Vi begynder forfra med alle døre lukkede.

Du siger nu 1, derefter 2, så 3 osv. til og med 100.

Hvor mange døre er nu åbne?

©  CC0

De skjulte cifre

​På hver af de 3 plader står der et femcifret tal.
3 cifre på de to underste plader er dækket.
Find ud af, hvad de 3 manglende cifre er, når summen af de 3 femcifrede tal er 57263.

© Lise Vikkelsø 

Den indtørrede vandmelon

​Kirsten køber en vandmelon på 10 kg.
95 % af vægten er vand. 5 % af vægten er kulhydrat, protein, mineraler samt lidt fedt og vitaminer. Hun glemmer vandmelonen, og efter et stykke tid er den tørret temmeligt meget ind.
Kirsten vejer den, og da hun er skrap til matematik, kan hun regne ud, at den nu kun indeholder 90 % vand.
Hvad meget vejer den indtørrede vandmelon?

​
©  CC0 pexels.com

Der er netop et lige tal tilbage

​I en hat ligger 2020 sedler med alle tal fra 1 til 2020.

På tilfældig vis trækkes to sedler ad gangen fra hatten.
Differensen mellem de to  tal skrives på en ny seddel, der lægges i hatten.
De to udtrukne sedler smides væk.

Der fortsættes på denne måde, til der er netop én seddel tilbage.

Vis, at der netop er en seddel tilbage - og at der på denne seddel står et lige tal.

© Karsten Enggaard 

Det afklippede A4-ark

​Pia skal bruge et kvadratisk stykke papir til at fremstille en papirmølle.

Hun tager et A4-papir og deler det, så der fremkommer et kvadrat og en strimmel, som hun smider væk.
Hun spekulerer over, hvor meget der egentlig går til spilde.

1. Beregn spildprocenten
   
   
2. Find et udtryk, som viser spildprocenten ved ethvert ark papir i A-formatet, der beskæres til et kvadrat.

© Kirsten Haastrup 

Den korteste vej fra P til Q

​En lille bille sidder i punktet P på højden i en sideflade 5 cm fra toppen i et regulært, hult tetraeder (tresidet pyramide) med sidelængden 15 cm.
Den ønsker at gå til en artsfælle, der sidder i punktet Q i tetraederets grundflade. Q ligger på en af grundfladens højder i afstanden 5 cm fra en vinkelspids, som vist på tegningen.

Find den korteste vej fra P til Q.

© Kirsten Haastrup 

Dækningsbidrag

​I produktionsvirksomheden DanATV overvejer de at satse på en ny lille ATV.

Virksomheden undersøger derfor de økonomiske muligheder.
Omsætningen af varen kan beskrives ved funktionen:
f(x) = -25x² + 32400x, for 0 ≤ x ≤ 1000
Hvor f(x) er omsætningen i kr. ved en afsætning på x stk.

De variable omkostninger ved produktionen kan beskrives ved funktionen:
g(x) = 0,03x³ – 48x² + 27600x, for 0 ≤ x ≤ 1000
Hvor g(x) er omkostningerne i kr. ved en afsætning på x stk.

1. Giv et grafisk billede af, hvordan omsætning og omkostninger forholder sig til hinanden.
2. Opstil en funktion, der beskriver dækningsbidraget (overskuddet).
3. For hvilken omsætning vil virksomheden få det største dækningsbidrag?

© CC0 

Efterårets æblehøst

​100 æbler koster det samme beløb i kroner, som antallet af æbler man kan få for 225 kr.

Hvad koster et æble?

©  Lise Vikkelsø

En aldersforskel

​Konen sagde:
Min mand er noget ældre end jeg er.
Vores aldre skrives med de samme to cifre, bare i omvendt rækkefølge.
Hvis man trækker aldrene fra hinanden, får man en ellevtedel, af det man får, hvis man lægger aldrene sammen.

Hvor gamle er vi så?

© CC0 

En flaske uden bedrager

​Vinflasker har ofte en bule i bunden, og i Tyskland kalder de bulen for ein Betrüger, en bedrager, fordi den giver indtryk af, at der er mere vin i flasken, end der rent faktisk er.

I Danmark har vi vinflasker uden bule i bunden, altså uden bedrager. En sådan flaske er delvis fyldt og du ved, at glassets tykkelse er 0,4 cm overalt i flasken. Flasken har form som en cylinder indtil den går indad mod flaskehalsen.
Du må ikke hælde mere i flasken og heller ikke hælde noget ud.

​Hvordan kan du finde flaskens rumindhold, når du kun har et centimetermål?

©  Pixabay

En frisk cykeltur

​Simon har en ny cykel.
Når han kører i skole om morgenen, kører han ned ad en bakke så gennemsnitsfarten er 15 km/t.
På hjemturen går det op ad bakke, så kan han kun køre i gennemsnit 10 km/t.
​Hjemturen varer derfor 8 minutter længere.

Hvor langt har Simon til skole?

© CC0 

En glemsom bademester

​Bademesteren nede i svømmehallen er af og til lidt glemsom. Forleden dag havde han tømt bassinet for at gøre det rent. Senere åbnede han for hanen for at fylde vand i bassinet, men glemte samtidig at lukke for afløbet.
Og så gik han hjem for at se en fodboldkamp i fjernsynet.
Normalt kan bassinet fyldes på 10 timer og tømmes på 15 timer. Så afløbet sker altså langsommere end tilløbet.

Hvor lang tid tog det før bassinet var fuldt?

© CC0

En 'kantet' spiralhæk i haven

​Rasmus har planlagt en ’kantet’ spiralhæk i et hjørne af sin have.
Hjørnet er 7 m · 7 m. Gangstierne mellem hækkene skal fra start af være 1 m.

Hvor lang bliver Rasmus’ hæk?

Nanna synes, ideen er god og planlægger en tilsvarende ’kantet’ spiralhæk i sin have,
som er 19 m · 19 m.

Hvor lang bliver Nannas hæk?
Hvor lang bliver en spiralhæk i en vilkårlig kvadratisk have med sidelængden s?

© Kirsten Haastrup 

En leg med tal - 1

​Her er fem naturlige tal, som følger lige efter hinanden: 6, 7, 8, 9, 10. 

Midtertallet er 8, og der er 5 tal.
Tallenes sum er: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40
40 = 5 · 8
Summen af de fem naturlige tal er altså 5 gange det midterste tal.

Prøv, om det gælder med større tal, at summen af fem naturlige tal, der følger lige efter hinanden, er 5 gange det midterste tal.

Her er 9 naturlige tal, der følger lige efter hinanden: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

Midtertallet er 15, og der er 9 tal.
Hvad er tallenes sum?
Hvad er 9 · 15?
Gælder der en tilsvarende regel, som for de fem naturlige tal?

Giv både med små og med store tal en række eksempler på, om vi her har en regel:
​Hvis tallet n er ulige, vil summen af n tal, der følger lige efter hinanden, altid være n gange talrækkens midterste tal.

Vis med nogle eksempler, at summen af tallene i en talrække er

,

hvor n angiver antallet af tal i talrækken, og a er det første tal i talrækken.
Husk at tallene skal følge lige efter hinanden.

​Gælder den samme regel, hvis antallet af tal i talrækken er lige?

©  CC0 Pixabay

En leg med tal - 2

​Neden for er opstillet 9 naturlige tal i tre rækker med tre tal i hver række.

I gruppen er første række tre på hinanden følgende naturlige tal.
Her: 11, 12 og 13.
Første tal i anden række er summen af det sidste tal i første række og et vilkårligt naturligt tal. Her er det tallet 4, der er det vilkårlige tal. Altså: 13 + 4 = 17. De efterfølgende tal i rækken er de næste naturlige tal i talrækken. Her 18 og 19.

Tredje række dannes på tilsvarende måde ved at finde summen af det sidste tal i række før og et vilkårligt naturligt tal. I dette tilfælde er det tallet 4. Altså 19 + 4 = 23. Og de efterfølgende tal i rækken er de næste tal i talrækken. Her 24 og 25.

Nu kan du foretage to beregninger:

1. Beregn summen af de 9 tal.

2. Multiplicer det midterste tal med 9.

Hvad viser beregningerne?

Bevis, at de to beregninger altid vil give det samme resultat.

©  CC0 Pixabay

En leg med tal - 3

​Et produkt af tre på hinanden følgende naturlige tal vil altid bestå af tre tal, hvor et af tallene er deleligt med 3. 
Produktet af de tre tal vil således også altid være deleligt med 3. 

Her er et par eksempler:
3 · 4 · 5 = 60,
og 60, kan deles med 3.
60 : 3 = (3 · 4 · 5) : 3 = 4 · 5 = 20
Andre eksempler:
5 · 6 · 7 = 210, og 210 : 3 = 70
21 · 22 · 23 = 10 626, og 10 626 : 3 = 3542

Find eksempler på, at produktet af tre på hinanden følgende naturlige tal er lig med summen af tre andre på hinanden følgende naturlige tal.

©  CC0 Pixabay

En løjerlig fisk

​Fiskerne var lige kommet ind fra havet med en løjerlig fisk.
Peter spurgte, hvor meget den vejede.
Christian svarede: "Den vejer 5 kg plus en femtedel af sin vægt, hvad vejer den så?"

Kan du hjælpe Peter med at regne fiskens vægt ud?

© CC0 

En papirkaktus!

​En papirkaktus vokser ved at udvikle femkantede 'blade' på to af hjørnerne af hvert foregående blad.

Det foregående blads hjørne er placeret i diagonalernes skæringspunkt af det nye blad.
Hvert nyt blad er halvt så bredt som forgængeren.

Hvis det første blads areal er 1, hvad er så det samlede areal af alle blade, når der er kommet 4 sæt nye blade?

©  Tidsskriftet Matematik, 2010 nr. 6

En papirkaktus!

​En papirkaktus vokser ved at udvikle femkantede 'blade' på to af hjørnerne af hvert foregående blad.

Det foregående blads hjørne er placeret i diagonalernes skæringspunkt af det nye blad.
Hvert nyt blad er halvt så bredt som forgængeren.

Hvis der er kommet uendelig mange blade, hvad er så arealet?

©  Tidsskriftet Matematik, 2010 nr. 6

En spørgeskemaundersøgelse

​I en spørgeskemaundersøgelse var der 20 spørgsmål.
Halvdelen af deltagerne var kvinder.
Firefemtedele af deltagerne svarede på alle 20 spørgsmål.
​Tre femtedele af disse var mænd, og de udgjorde 240 af deltagerne.

Hvor mange af kvinderne svarede ikke på alle spørgsmålene?

© 

En særlig terning

​Siderne på en seks-sidet terning har værdierne: -3, -2, -1, 0, 1, og 2.

Du slår med terningen to gange.

Hvad er sandsynligheden for, at produktet af de to udfald er negativt?

                                                                ©  Lise Vikkelsø