UDFORDRINGER

Finurlige Flader II - Et rektangel bliver til et kvadrat

★★★★

Tekst

Finurlige flader II

Et rektangel med siderne 16 og 9 kan deles i to kongruente stykker efter ternene, som kan samles til et kvadrat med siden 12.
Når rektanglet deles efter ternene er siderne i de to kongruente stykker naturlige tal.

Find regler for, hvordan og på hvilke betingelser et rektangel, hvor den ene side er længere end den anden, kan opdeles efter ternene, og efterfølgende samles til et kvadrat.

Hent som PDF

Hint

Tænk over, hvad siden i kvadratet skal være, når du kender arealet af rektanglet.
Og dernæst, hvad kvadratets sidelængde betyder for størrelsen af de 'trin' rektanglet skal opdeles i.

Hent som PDF

Resultat

Et rektangel kan kun trinvis opdeles til et kvadrat, hvis dets to dimensioner (højde og længde) står i forhold til to på hinanden følgende kvadrattal. Fx 9 og 16 eller 16 og 25.

Hent som PDF

Løsningsforslag

Arealet af det oprindelige rektangel skal være et kvadrattal.
Arealet af det viste rektangel er 144. Dvs. kvadratets side er $square root of 144 equals 12$
Og de 'trin', rektanglet deles i, skal også gå op i 12.

Siderne i et givent rektangel, hvis areal er et kvadrattal, kaldes a og b, hvor a er den længste side.
Størrelsen af de 'trin', som rektanglet opdeles med, kaldes henholdsvis h og l, hvor l er parallel med a, og h er parallel med b.

$a over l equals n subscript l$ er antallet af 'trin', der forekommer parallelt med a.

$b over h equals n subscript h$ er antallet af 'trin', der forekommer parallelt med b.

(1)
Når $a over l equals n subscript l$ , så er $l equals a over n subscript l$ , og tilsvarende bliver $h equals b over n subscript h$ .

Det er kun muligt at foretage opdelingen i trin, hvis både n_l og n_h er hele tal og $n subscript l equals n subscript h plus 1.$

For, at den nye figur kan være et kvadrat, skal følgende gælde for siden af kvadratet :
(a - l) og (b + h) skal være lige store
og
(a - l) og (b + h) skal begge være lig med $square root of a b end root$ .

Dvs. (2)

$a minus l equals square root of a b end root left right double arrow$

l = a - $square root of a b end root$

og (3)

$b plus h equals square root of a b end root space left right double arrow$

h = $square root of a b end root$ - b

På baggrund af (1), (2) og (3) kan vi opstille to ligninger med to ubekendte.
Løsning af ligningssystem:

Vi har dermed udtrykt n_l og n_h ved hjælp af a og b:

$n subscript l space equals fraction numerator a over denominator a minus square root of a b end root end fraction n subscript h space equals space fraction numerator b over denominator square root of a b end root minus b end fraction$

Et rektangel kan ændres til et kvadrat på denne måde alene, hvis dets dimensioner giver heltallige værdier for $n subscript l$ og $n subscript h$ i ovenstående udtryk på en sådan måde, at
$n subscript l$ = $n subscript h$ + 1 $left right double arrow n subscript h equals n subscript l$ - 1

Hvad betyder det så for siderne i et rektangel, hvis det skal kunne omdannes til et kvadrat?

$n subscript l squared space equals open parentheses fraction numerator a over denominator a minus square root of a b end root end fraction close parentheses squared n subscript h squared space equals open parentheses n subscript l minus 1 close parentheses squared equals space open parentheses fraction numerator b over denominator square root of a b end root minus b end fraction close parentheses squared$

Forholdet mellem siderne er så:

$n subscript l squared over left parenthesis n subscript l minus 1 right parenthesis squared equals$ $open parentheses fraction numerator a over denominator a minus square root of a b end root end fraction close parentheses squared over open parentheses fraction numerator b over denominator square root of a b end root minus b end fraction close parentheses squared$

Reduktion af udtrykket:

Altså:
$a over b space equals space n subscript l squared over left parenthesis n subscript l minus 1 right parenthesis squared$

Dette udtryk medfører, at et rektangel kun kan trinvis opdeles til et kvadrat, hvis dets to dimensioner (højde og længde) står i forhold til to på hinanden følgende kvadrattal.

Hent som PDF