UDFORDRINGER

Stjernens areal - Bestem arealet af en regulær sekstakket stjerne

★★★★

Tekst

Stjernens areal

Bestem arealet af en regulær sekskantet stjerne, hvor siderne i spidserne har længden s.

Hent som PDF

Hint

Hvor mange små trekanter består stjernen af?

Hent som PDF

Resultat

Stjernens areal er: $begin mathsize 16px style square root of 3 times text s end text squared almost equal to 5 comma 2 text s end text Â² end style$

Hent som PDF

Løsningsforslag

Stjernen kan inddeles i 12 lige store trekanter som vist på tegningen.
Så er det kun et spørgsmål om at finde arealet af en af trekanterne og multiplicere facit med 12.

Beregningsmetode 1

Grundfladen i den lille trekant er s.
Så findes højden
h = $begin mathsize 16px style square root of text s end text squared minus open parentheses fraction numerator text s end text over denominator 2 end fraction close parentheses squared end root equals square root of fraction numerator 4 text s end text squared over denominator 4 end fraction minus text s end text squared over 4 end root equals fraction numerator square root of text 3 end text end root over denominator 2 end fraction text s end text end style$

Trekantens areal bliver: $begin mathsize 16px style 1 half times text hÂ·gÂ = end text end style$ $begin mathsize 16px style 1 half times text sÂ· end text fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction text s= end text fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction text s end text squared end style$

Så bliver stjernens areal = $begin mathsize 16px style 12 times fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction times text s end text squared text Â =Â 3Â· end text square root of 3 text Â·s end text squared text â5,2s end text squared end style$

Beregningsmetode 2

Beregning med Herons formel:

Herons formel:

$begin mathsize 18px style text A=Â end text square root of text s(s-a)(s-b)(s-c) end text end root text ,Â hvorÂ s= end text fraction numerator text a+b+c end text over denominator 2 end fraction text ,Â end text text ogÂ hvorÂ a,Â bÂ ogÂ cÂ erÂ sidelÃ¦ngderneÂ iÂ trekanten. end text end style$

Den ligesidede trekant har sidelængden s, det giver i formlen:

$begin mathsize 18px style text A= end text square root of fraction numerator 3 text s end text over denominator 2 end fraction text Â· end text fraction numerator text s end text over denominator 2 end fraction text Â· end text fraction numerator text s end text over denominator 2 end fraction text Â· end text fraction numerator text s end text over denominator 2 end fraction end root text = end text square root of fraction numerator 3 text s end text to the power of 4 over denominator 2 to the power of 4 end fraction end root text = end text fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction text Â·s end text squared end style$

Stjernens areal bliver:

$12 times fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction times text s end text squared text Â =Â 3 end text square root of 3 text s end text squared text Â âÂ 5,2s end text squared$

Beregning med Herons formel i CAS-værktøj:

Hent løsningsforslag i MatematiKan her.

Beregningsmetode 3

Ved at tegne den regulære sekstakkede stjerne i GeoGebra med sidelængden s = 1 i spidserne, får vi arealet til at være 5,2.

Så må stjernen med sidelængden s i spidserne have et areal
på 5,2·s².

Hent stjernen tegnet i GeoGebra her.

Hent som PDF