UDFORDRINGER

Parkanlægget - Beregning af arealer af forskellige cirkeldele og procentvis dækning af kendt areal

★★★★

Tekst

Parkanlægget

Landskabsarkitekten har fået den nye opgave, at lave et parkanlæg i landsbyens østende, hvor et uudnyttet fællesareal på 19 m ˑ 19 m længe har ligget brak.
Han beslutter at lade den ydre ramme være tre cirkler, der alle går gennem de andre cirklers centre.
1. Hvor lang kan cirklernes radier højst være i helt antal m?
Dette mål bruges til cirklernes radier.

På den måde dannes der 7 områder af tre forskellige forme.
2. Hvor stort er de forskellige områders areal?

3. Hvor stor en procentdel af brakmarken udgør det nye parkanlæg?

Hent som PDF

Hint

1. Undersøg, hvad du ved om en linje gennem to af cirklernes centre

2.
a) Et cirkelafsnits areal kan beregnes ud fra cirkeludsnittets areal, hvorfra subtraheres
centraltrekantens areal.
b) Prøv at beregne arealet af det stykke, der overlappes af to cirkler.
c) Det midterste stykke, som overlappes af alle tre cirkler, kan betragtes som et cirkeludsnit plus to cirkelafsnit.
d) Arealet, T, af en trekant med siderne a, b og c kan beregnes ud fra formlen T = $1 half a b times sin open parentheses C close parentheses$ .

Hent som PDF

Resultat

1. 6 m

2.
Det midterste areal er ca. 25,37 m².
De tre felter er ca. 18,85 m².
De tre yderste felter er ca. 50,03 m².

3. 64 %

Hent som PDF

Løsningsforslag

1.
Det længste linjestykke går gennem to centre og er derfor 3 · radius.

$3 r space less than space 19 space left right double arrow r space less than space 6 1 third$

Radierne i cirklerne, skal være et helt tal, altså 6 m.

Som hjælp til beregningerne af arealerne er det en god ide først at finde det grønne område.
Start med det mørkegrønne område, som er et cirkelafsnit på 120˚.
Arealet findes ved først at beregne cirkeludsnittets areal og så fratrække centraltrekantens areal. Udsnittets areal er $1 third$ af cirklens areal:
$T space equals space 1 third times straight pi times straight r squared space equals space 1 third times straight pi times 6 squared space equals space 12 straight pi$
Centraltrekantens areal:
$T space equals space 1 half times a times b times sin open parentheses C close parentheses space equals 1 half times 6 times 6 times sin open parentheses 120 degree close parentheses space equals space 18 times fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space equals 9 square root of 3$
Arealet af det mørkegrønne område: $12 straight pi space minus space 9 square root of 3$

Arealet af hele det grønne område: $24 straight pi space minus space 18 square root of 3 space almost equal to space 44 comma 22 space straight m squared$

Det røde område kan betragtes som et cirkeludsnit med tillæg af de tilsvarende cirkelafsnit. Cirkeludsnittets areal: $1 over 6 times straight pi times straight r squared space equals space 1 over 6 times straight pi times 6 squared space equals 6 straight pi$

Cirkelafsnittenes areal: $2 times left parenthesis 6 straight pi space minus space 1 half absin open parentheses straight C close parentheses space equals space 12 straight pi space minus 6 squared times fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space equals space 12 straight pi space minus space 18 square root of 3 space almost equal to space 6 comma 52$

Arealet af det røde område: $6 straight pi space plus space 12 straight pi space minus space 18 square root of 3 space equals space 18 straight pi space minus space 18 square root of 3 space equals space 18 left parenthesis straight pi space minus space square root of 3 right parenthesis space almost equal to space 25 comma 37 space straight m squared$

Arealet af hvert af de gule områder er:
En 'grøn' figur minus den 'røde' figur.

Dvs.
$24 straight pi space minus space 18 square root of 3 space minus left parenthesis 18 straight pi space minus space 18 square root of 3 right parenthesis space equals space 6 straight pi space almost equal to space 18 comma 85 space straight m squared$

De blå områders areal kan findes ved at tage arealet af en cirkel og subtrahere det 'røde' areal samt to 'gule' arealer.

Arealet af hvert af de blå felter:

$straight pi times 6 squared space minus space left parenthesis 18 straight pi space minus space 18 square root of 3 right parenthesis space minus space 2 times 6 straight pi space equals space 36 straight pi space minus space 18 straight pi space plus space 18 square root of 3 space minus space 12 straight pi space equals space 6 straight pi space plus space 18 square root of 3 space almost equal to space 50 comma 03 space straight m squared$

Brakmarkens areal:
$19 times 19 space equals space 361 space m squared$

Parkanlæggets samlede areal:
$18 left parenthesis straight pi space minus space square root of 3 right parenthesis space plus space 3 left parenthesis 6 straight pi right parenthesis space plus space 3 left parenthesis 6 straight pi space plus space 18 square root of 3 right parenthesis space equals space 54 straight pi space plus space 36 square root of 3 space almost equal to space 232 space m squared$

Parkanlæggets procentvise andel af brakmarken:

$232 over 361 space almost equal to 0 comma 64 space equals space 64 space percent sign$

Hent som PDF